Retrouvailles émues.

Au détour d'un rangement rapide de mes affaires, je découvre avec curiosité une pochette. "Analyse - MPSI - 2000". Première année de prépa. Tiens tiens... Et là, coup de blues. Première démonstration. Simplissime. Mais tellement belle. Raisonnement par l'absurde.

Démonstration de l'irrationalité de ?2

Ndlr : un irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction (irréductible).

Raisonnons par l'absurde.

On suppose ?2 rationnel.

Donc il s'écrit sous la forme ?2 = P/Q

avec P et Q premiers entre eux, c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun diviseur commun.

En élevant au carré, on obtient :

2 = P²/Q² qui s'écrit également P² = 2 Q²

Donc P² est un nombre pair.
Or, en élevant au carré, on conserve la parité. Donc P est pair et s'écrit :

P = 2 K avec K entier.

On remet l'expression au
carré :

P² = 4 K² = 2 Q²

On obtient donc :

Q² = 2 K² ce qui revient à dire que Q est pair.

Ainsi, P et Q sont pairs, et ont donc un diviseur commun. Ce qui vient contredire l'hypothèse de départ. Celle-ci est donc fausse.

?2 est irrationnel.

Beauté simpliste. Grâce mathématique. L'esprit prépa aura tôt fait de calmer mes ardeurs artistiques.