Bulles et chaos.

Depuis environ une semaine, la fontaine qui se trouve entre mon immeuble et la station de métro a été remise en route, le gel étant définitivement éloigné. Elle n'est pas jolie, cette fontaine surmontée d'une statue des années 30 représentant une allégorie de la fertilité et de la famille modèle. Mais cela met tout de même un peu de gaîté dans cette rue que la circulation automobile a rendue bien terne.

Seulement voilà. Il y a deux jours, quelqu'un a versé dans la fontaine quelques gouttes de lessive. Et de gros nuages de mousse ont fait leur apparition à la surface de l'eau, rendant cette fontaine tout à coup beaucoup moins jolie. Quantité impressionnante de bulles et de mousse qui déborde du bassin et s'en va se répandre sur le trottoir et sur la route, ce qui pourrait éventuellement générer un accident (chute d'une personne ou accident de voiture).

En voyant cette situation, je me suis souvenu d'une question mathématique bien connue (oui, je vois énormément de situations de la vie de tous les jours sous forme mathématique, c'est grave ?), celle du chaos.

Dans ce cas, à cause d'une simple goutte de liquide ou de quelques grammes de poudre, une fontaine au comportement stable (débit constant, niveau de l'eau maîtrisé) s'est transformée en un système chaotique : formation de bulles, dépassement du niveau, eau savonneuse répandue sur la chaussée... En allant un peu plus loin, on pourrait tout imaginer. Un accident de la route impliquant un personnage politique très important. Une guerre atomique qui éclate suite à sa mort... Une simple goutte de savon a eu des conséquences dévastatrices. Comme le célèbre battement d'ailes du papillon.

Il est assez difficile de déterminer si un système a des propensions chaotiques ou non. Si, d'un comportement stable, il peut passer, à cause d'un événement minime, à un comportement imprévisible.

Prenons un autre exemple. Imaginons un billard classique. J'ai dessiné (très mal et très rapidement) deux coups qui ne diffèrent que d'un angle minime. Après trois rebonds, les boules se trouvent pratiquement au même endroit et ont suivi des trajectoires relativement semblables (différence "proportionnelle" à la différence survenue au départ, somme toute). Imaginons maintenant un billard qui a un côté rond. On peut voir maintenant que, du fait du rebond sur une paroi circulaire, les trajectoires diffèrent énormément et les boules n'arrivent finalement pas du tout au même endroit.



Le deuxième billard présente donc les caractéristiques d'un système chaotique.

La conception et l'ingénierie tournent souvent autour de ce problème. Concevoir un système et éviter qu'il ne devienne chaotique. Compliqué.


Oui, j'aime écrire des billets sur les mathématiques visuelles. Quelques soubresauts de prépa, sans doute. Parce que j'en suis maintenant bien loin.